makalah geometri
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah, segala puji bagi Allah SWT yang dengan perkenan-Nya maka makalah “GEOMETRI “ dapat terselesaikan dalam bentuk yang sangat sederhana ini. Makalah ini penulis susun berdasarkan kebutuhan Perkuliahan sebagai tugas mata kuliah “ TELAAH MATEMATIKA “ . Dengan harapan makalah ini dapat dipergunakan sebaik mungkin.
Rampungnya makalah ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak, terkhusus kepada Dosen Pembimbing mata kuliah “TELAAH MATEMATIKA “.
Semoga makalah ini dapat menjadi inspirasi bagi para pembacanya dan memberikan manfaat dalam pengembangan khazamah keilmuan, khususnya dalam peningkatan kualitas pengetahuan Matematika pada jenjang pendidikan dasar. Penulis menyadari bahwa makalah ini jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu, dengan penuh kerendahan hati penulis menerima segala perbaikan dari pembaca demi pelebaran kibasan sayap pengetahuan penulis.
Akhirnya, mudah – mudahan Tuhan Yang Maha Esa tetap mencurahkan rahmat- Nya kepada kita . Amiin
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR i
DAFTAR ISI ii
BAB 1 PENDAHULUAN
Latar Belakang 3
Rumusan masalah 3
Tujuan 4
Manfaat 4
BAB 2 PEMBAHASAN
SEGITIGA 13
PERSEGI 17
PERSEGI PANJANG ............................................ 21
LAYANG-LAYANG 24
BELAH KETUPAT 27
JAJAR GENJANG 31
TRAPESIUM 35
LINGKARAN 41
BAB 3 PENUTUP
Kesimpulan 42
Saran 42
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................ 43
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Geometri (dari bahasa yunani, geo = bumi, metria = pengukuran) secara harfiah berarti pengukuran tentang bumi, adalah cabang dari matematika yang mempelajari hubungan di dalam ruang. Dari pengalaman, atau mungkin secara intuitif, orang dapat mengetahui ruang dari ciri dasarnya, yang diistilahkan sebagai aksiom dalam geometri.
Catatan paling awal mengenai geometri dapat ditelusuri hingga ke zaman Mesir kuno, peradaban Lembah Sungai Indus dan Babilonia. Peradaban-peradaban ini diketahui memiliki keahlian dalam drainase rawa, irigasi , pengendalian banjir dan pendirian bangunan-bagunan besar. Kebanyakan geometri Mesir kuno dan Babilonia terbatas hanya pada perhitungan panjang segmen-segmen garis, luas, dan volume.
Geometri terbagi atas beberapa macam antara lain : segitiga, persegi panjang, persegi, jajargenjang, belah ketupat, layang-layang, trapesium dan lingkaran.
Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian di atas saya menentukan permasalahan sebagai berikut :
Jelaskan pengertian dari geometri ?
Sebutkan sifat-sifat dari geometri ?
Tentukanlah luas dan keliling geometri ?
Tujuan
Adapun tujuan dari pembuatan makalah ini yaitu untuk mengetahui tentang :
Pengertian dari geometri
Sifat-sifat dari geometri
Luas dan keliling geometri
Manfaat
Adapun manfaat dari makalah ini bagi mahasiswa dan seluruh orang yang membacanya yaitu menambah pengetahuan dan wawasan mengenai materi geometri dan macam geometri secara luas dan lebih mendalam, khusus bagi penulis adalah untuk perbaikan nilai ujian mata kuliah ‘Telaah Matematika’.
BAB II
PEMBAHASAN
1. SEGITIGA
A. JENIS-JENIS SEGITIGA
Jenis – jenis segitiga dapat ditinjau dari :
panjang sisi – sisinya
besar sudut – sudutnya
panjang sisi dan besar sudutnya
a. Ditinjau dari panjang sisi – sisinya jenis segitiga dibagi atas :
1. Segitiga sembarang adalah segitiga yang ketiga sisinya tidak sama panjang. Δ ABC pada gambar 1.1 adalah segitiga sembarang panjang AB,BC dan AC tidak sama.
Gambar 1.1
Segitiga sama kaki adalah segitiga yang mempunyai dua buah sisi yang sama panjang.
Di dalam Segitiga sama kaki berlaku rumus berikut :
C
CA = CB
A B
Gambar 1.2
Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang.
Di dalam Segitiga sembarang berlaku rumus berikut :
Gambar 1.3
b. Ditinjau dari besar sudut – sudutnya jenis segitiga dibagi atas :
1. Segitiga lancip adalah sudut yang lebih besar dari 0° dan kurang dari 90°.
Gambar 1.4
Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya siku – siku dan sudutnya 90°.
Gambar 1.5
Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya tumpul, dan sudutnya lebih dari 90° dan kurang dari180°.
C
A Gambar 1.6 B
c. Ditinjau dari panjang sisi – sisinya dan besar sudutnya
C C
A B A B
Gambar 1 Gambar 2
C C
A B A B
Gambar 3 Gambar 4
Pada gambar 1 diatas panjang AB = AC dan segitiga BAC = 90°, sehingga segitiga ABC disebut segitiga siku siku sama kaki
Pada gambar 2 diatas panjang AC = BC dan sudut ABC tumpul sehingga segitiga ABC disebut segitiga tumpul sama kaki
Pada gambar 3 diatas panjang AC = BC dan ukuran ketiga sudutnya lancip, sehingga segitiga ABC disebut segitiga lancip sama kaki
Pada gambar 4 diatas ketiga sisinya sama panjang dan ketiga sudutnya sama besar, sehingga segitiga ABC disebut segitiga sama sisi.
Jumlah Sudut-sudut Segitiga
sudut lancip, besarnya antara antara 0° dan 90°.
sudut siku-siku.besarnya sama dengan 90°.
Sudut tumpul besarnya antara 90° dan 180°.
Sudut refleks besarnya antara180° dan 360°
Sudut lurus besarnya sama dengan 180°
Sudut penyiku adalah dua buah sudut yang membentuk sudut 90°
sudut pelurus adalah dua buah sudut yang membentuk sudut 180°
Sudut penuh besarnya, satu putaran penuh sama dengan 360°
Melukis Garis-garis dalam Segitiga
Garis Tinggi
Garis tinggi adalah sebuah garis yang ditarik dari suatu sudut sehingga tegak lurus dengan sisi yang berada dihadapannya. dengan perbandingan sebagai berikut :
ta : tb : tc =
Garis Berat
Garis berat adalah garis yang ditarik dari suatu sudut sehingga membagi dua buah sisi yang ada dihadapannya. Seperti yang tampak pada gambar dibawah ini :
Garis Bagi
Garis bagi terdiri atas :
Garis bagi dalam
t
Garis bagi dalam adalah suatu garis yang ditarik dari suatu sudut sehingga membagi sudut tersebut menjadi sama besar :
1 = titik bagi dalam
Aa = Bb = Cc = Garis bagi
Garis Bagi Luar
Garis Sumbu Segitiga
Garis Sumbu Segitiga adalah garis yang melalui titik tengah sisi segitiga dan tegak lurus sisi tersebut. Ketiga sumbu berpotongan pada satu titik. Titik tersebut adalah pusat lingkaran luar segitiga. Jari-jari lingkaran luar segitiga ABC dirumuskan dengan:
Keterangan :
R = jari-jari lingkaran luar
L = luas daerah segitiga ABC
a = BC, b = AC dan c = AB
Jari-jari lingkaran luar segitiga ABC dirumuskan dengan R =
`
Keterangan :
R = Jari-jari lingkaran
L = Luas daerah segitiga ABC
a = Bc, b = Ac dan c = AB
Melukis Segitiga sama sisi dan sama kaki
Melukis segitiga sama sisi
Melukis segitiga sama kaki
Gambar segitiga sama kaki
Keliling dan luas Segitiga
KELILING
Keliling suatu segitiga adalah jumlah panjang sisi segitiga.
Keliling Δ ABC = AB+AC=BC
K = c+b+a
a+b+c
Rumus keliling (k) segitiga dengan panjang sisi a cm, b cm, dan c cm adalah : k = a+b+c
C
b a
A c B
Gambar segitiga
LUAS SEGITIGA
Luas persegi panjang = panjang x lebar
= AB x BC
Atau
L = pxl
= pl
Dapat disimpulkan bahwa :
Luas setiap segitiga = ½ x alas x tinggi
Alas segitiga merupakan sisi dari segitiga tersebut, tinggi harus tegak lurus dengan alas yang sekawan dan melalui titik sudut yang berhadapan dengan alas.
PERSEGI
Pengertian
Persegi adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk (a) yang sama panjang dan memiliki empat buah sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku. Persegi dulu disebut sebagai bujur sangkar.
Sebuah persegi dapat menempati bingkainya dengan delapan cara :
Letak semula
Dilipat menurut sumbu simetri PQ
Dilipat menurut sumbu simetri RS
Dilipat menurut diagonal AC
Dilipat menurut diagonal BD
Diputar setengah putaran searah jarum jam
Diputar seperempat putaran searah jarum jam
Diputar tigaperempat putaran searah jarum jam
Sifat-sifat persegi
Sifat-sifat persegi yang dimiliki oleh persegi panjang adalah :
Sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar
Diagonalnya sama panjang
Diagonalnya berpotongan membagi dua sama panjang
Diagonal-diagonalnya berpotongan membentuk sudut siku-siku
Sudut-sudutnya dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya
Berdasarkan sifat-sifat persegi, maka dapat dinyatakan hal berikut :
Persegi adalah persegi panjang yang keempat sisinya sama panjang.
D E
A B
Dari sifat-sifat persegi diatas , maka pada persegi ABCD diatas diperoleh
AB = BC = CD = AD
AC = BD
OA = BD = OB = OD
∠OAB = ∠OAD = 45°
∠OBA = ∠OBC = 45°
∠OCB = ∠OCD = 45°
∠ODA = ∠ODC = 45°
∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠AOD 90°
Rumus Keliling Persegi
D C
A B
Rumus luas persegi
D C
A B
PERSEGI PANJANG
Pengertian
Persegi panjang adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing sama panjang dan sejajar dengan pasangannya, dan memiliki empat buah sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku.
Rusuk terpanjang disebut sebagai panjang (p) dan rusuk terpendek disebut sebagai lebar (l).
Sifat-sifat persegi panjang
a. sifat sisi-sisi persegi panjang
Ubin – ubin yang berbentuk persegi panjang dapat digeser sepanjang baris kekanan atau kekiri dan sepanjang jalur keatas atau kebawah . Hal ini menunjukkan bahwa dalam persegi panjang sisi-sisi yang berhadapan selalu mempunyai jarak yang tetap.Karena jarak sisi-sisi yang berhadapan selalu tetap maka dikatakan sisi-sisi yang berhadapan sejajar.
b. Sifat sudut-sudut persegi panjang
1. ∠A = ∠B = ∠C = ∠D
2. Empat buah persegi panjang diletakkan bersisian
2. ternyata keempat bangun itu dapat menutup bidang datar tanpa celah dan tidak saling tutup-menutupi. Hal ini menunjukkan bahwa empat sudut persegi panjang membentuk sudut satu putaran penuh.
Jadi, besar tiap-tiap sudut persegi panjang = (360°)/4
= 90° (sudut siku-siku)
c. sifat diagonal-diagonal persegi panjang
A → B
C → D
AC → BD
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa :
Keliling persegi panjang
Keliling persegi panjang adalah jumlah panjang semua sisi persegi panjang.
Perhatikan gambar diatas!
Keliling persegi panjang ABCD = AB + BC + CD + DA
Karena AB = CD dan BC = AD maka :
Keliling persegi panjang ABCD = 2 x AB + 2 x BC
AB disebut panjang dan BC disebut lebar
Jadi, keliling persegi panjang ABCD = 2 x panjang + 2 x lebar
Luas persegi panjang
Rumus luas persegi panjang = panjang x lebar
Jika panjang = p cm, lebar = l cm dan luas = L cm², maka :
4. LAYANG-LAYANG
Pengertian
Layang – layang adalah segi empat yang dibentuk oleh dua segitiga sama kaki yang alasnya sama panjang dan berimpit.
Sifat – Sifat Layang – Layang
Sifat 1. Sisinya sepasang – sepasang sama panjang
∆ADB sama kaki maka AD=AB
∆CDB sama kaki maka CD=CD
Sifat 2. Sepasang sudutnya yang berhadapan sama besar
∆ABD adalah segitiga sama kaki D1=B1 (berwarna biru)
∆BCD adalah segitiga sama kaki D2=B2 (berwarna merah)
( B1 + B2 = B ) = ( D1 + D2 = D )
Sifat 3. Salah satu diagonalnya merupakan sumbu simetri
∆ ADC dan ∆ ABC merupakan segitiga yang kongruen, karena:
AD = AB
AC = AC
BC = DC
B = D
ACB = ACD
CAB = CAD
Sifat 4. Salah satu diagonalnya membagi dua sama panjang diagonalnya yang lainnya dan saling tegak lurus.
AC adalah sumbu simetri. Apabila ABCD dibalik dan AC sumbu simetri:
D B, A A, B B
OB OD, OB OD = ½ BD
Diagonal AC dan BD berpotongan di O membagi menjadi empat sudut yang sama besar.
AOB = AOD = 90O
COB = COD = 90O
AC dan BD saling berpotongan tegak lurus, dan OB = OD
Keliling Layang – Layang
Keliling layang – layang, dilihat dari arti kata keliling itu sendiri berarti seluruh sisi-sisinya dikelilingi, jadi rumus keliling laying-layang adalah
Luas Daerah Layang – Layang
Luas daerah layang – layang sama dengan setengah hasil kali diagonal – diagonalnya.
Luas daerah ∆ABC = ½ AC × BE
Luas daerah ∆ABC = ½ AC × DE
Luas Daerah (∆ABC +∆ ADC) = ½ AC × BE + ½ AC × DE
Luas daerah ABCD = ½ AC (BE + DE)
Luas daerah ABCD = ½ AC × BD
BELAH KETUPAT
Pengertian belah ketupat
Belah ketupat adalah segiempat dengan sisi yang berhadapan sejajar, keempat sisinya sama panjang, dan sudut-sudut yang berhadapan sama besar.
Gambar 1 diatas adalah segitiga samakaki ABC dengan AB=AC yang kemudian yang kemudian dicerminkan terhadap sumbu garis BC sehingga ∆ABC dan bayangannya ∆A’BC membentuk segiempat ABA’C yang disebut belah ketupat. Jadi, belahketupatdibentuk dari segitiga sama kaki dan bayangannya setelah dicerminkan terhadap alas segitiga itu sebagai sumbu simetrinya.
Gambar 2 berikut ini, menunjukkan belahketupat ABCD yang dibentuk dari segitiga sama kaki ABC dan bayanganya (∆ADC) setelah dicerminkan dengan alas AC sebagai sumbu simetrinya.
Gambar 3 menunjukkan belahketupat PQRS yang dibentuk dari segitiga sama kaki PQR dan bayangannya (∆PSR) setelah dicerminkan terhadap alas PR sebagai sumbu simetri.
Sifat-sifat belah ketupat
Semua sisi setiap belah ketupat sama panjangnya.
Kedua diagonal setiap belahketupat merupakan sumbu simetri.
Pada setiap belah ketupat sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya.
Kedua diagonal setiap belahketupat saling membagi dua sama panjang dan saling berpotongan tegak lurus.
Perhatikan belah ketupat ABCD pada gambar 4.
Segitiga ABC sama kaki dengan AB = CB, maka BO merupakan sumbu simteri.
Segitiga ADC sama kaki dengan AD = CD, maka OD merupakan sumbu simetri.
Karena sudut BOC dan sudut COD saling berpelurus, maka BD adalah garis lurus yang merupakan sumbu simetri belahketupat.
Karena AC dan BD merupakan sumbu simetri, maka dapat disimpulkan bahwa:
Kedua diagonal setiap belahketupat merupakan sumbu simetri.
3. Perhatikan gambar 5 ini.
Pada letak 2, belahketupat ABCD dibalik menurut sumbu simetri BD,
maka sudut A à sudut C, sehingga sudut A = sudut C
Pada letak ketiga, belahketupat ABCD dibalik menurut sumbu simetri AC, maka sudut B à sudut D, sehingga sudut B = sudut D.
Karena sudut A = sudut C, sudut B = sudut D dan kedua diagonal belah ketupat merupakan sumbu simetri, maka dapat disimpulkan bahwa:
Pada setiap belah ketupat sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya.
4. Pada gambar 6, belah ketupat ABCD diputar setengah putaran pada O, maka:
OA → OC, sehingga OA = OC
OB → OD, sehingga OB = OD
Sudut AOB = sudut AOD = ½ X 180o = 90o
Karena OA=OC, OB=OD dan sudut AOB=90o, maka dapat disimpulkan bahwa:
Kedua diagonal setiap belahketupat saling membagi dua sama panjang dan saling berpotongan tegak lurus.
Keliling belah ketupat
Rumus mencari keliling belah ketupat adalah :
Luas Belah ketupat
Jika kita amati sifat-sifat belahketupat, ternyata belah ketupat memiliki
semua sifat jajargenjang, sehingga belahketupat juga merupakan jajargenjang. karena belahketupat juga merupakan jajargenjang, maka luas belah ketupat adalah sebagai berikut
JAJAR GENJANG
Pengertian
Ada beberapa defenisi tentang jajargenjang yaitu sebagai berikut:
D C
A B
Jajaragenjang adalah bangun segi empat yang di bentuk dari sebuah segitiga dan bayangannya yang di putar setengah putaran (180 °) pada titik tengah.
Jajargenjang adalah segi empat yang sisi-sisi berhadapannya sama panjang dan sejajar.
Jajargenjang adalah segi empat yang sudut-sudut berhadapannya sama besar.
Jajargenjang adalah segi empat yang kedua diagonalnya saling membagi menjadi dua bagian sama panjang.
B. Sifat-sifat jajar genjang
Perhatikan jajargenjang ABCD di bawah ini :
D C
A B
Pada gambar tersebut menunjukkan jajargenjang ABCD. Putarlah ∆ ABD setengah putaran (180˚)pada titik O, sehingga AB↔DC dan AD↔BC.
Akibatnya, AB = DC dan AD = BC.
“pada setiap jajargenjang sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.”
Jika jajargenjang diputar setengah putaran (180˚) maka diperoleh ∠ A ↔ ∠ C, ∠ ABD ↔ ∠ BDC, dan ∠ ADB ↔ ∠ CBD.
Akibatnya ∠ A = ∠ C, ∠ ABD = ∠ BDC, dan ∠ ADB = ∠ CBD, sedemikian sehingga ∠ A = ∠ C, ∠ B = ∠ ABD + ∠ CBD, dan ∠ D = ∠ ADB + ∠ BDC.
“ Pada setiap jajargenjang sudut-sudut yang berhadapan sama panjang”
Pada jajargenjang ABCD tersebut AB // DC dan AD // BC. Berdasarkan sifat-sifat garis sejajar, karena AB // DC, maka diperoleh
∠ A dalam sepihak dengan ∠ D, maka ∠ A + ∠ D =180˚
∠ B dalam sepihak dengan ∠ C, maka, ∠ B + ∠ C =180°
Demikian juga karena AD // BC,maka diperoleh
∠ A dalam sepihak dengan ∠ B, maka ∠ A + ∠ B = 180˚
∠ D dalam sepihak dengan ∠ C, maka ∠ C + ∠ D = 180˚
Hal tersebut dapat dituliskan sebagai berikut :
∠ A + ∠ D = ∠ A + ∠ B =180˚
∠ C + ∠ B = ∠ C + ∠ D =180˚
“ Pada setiap jajargenjang jumlah pasangan sudut yang saling berdekatan adalah 180˚”.
D C
A B
Pada gambar di atas, jika ∆ ABD diputar setengah putaran (180˚) pada titik O, akan diperoleh OA ↔ OC dan OB ↔ OD.
Hal ini menunjukkan bahwa OA + OC = AC dan OB + OD = BD.
Jadi, dapat disimpulkan sebagai berikut.
“ Pada setiap jajargenjang kedua diagonalnya saling membagi dua sama panjang.”
Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan sifat-sifat jajargenjang sebagai berikut :
Sisi-sisi yang berhadapan pada setiap jajargenjang sama panjang dan sejajar.
Sudut-sudut yang berhadapan pada setiap jajargenjang sama besar.
Jumlah pasangan sudut yang saling berdekatan pada setiap jajargenjang adalah 180˚.
Pada setiap jajargenjang kedua diagonalnya saling membagi dua sama panjang
Keliling jajar genjang
Telah kita ketahui bahwa keliling bangun datar merupakan jumlah panjang sisinya. Hal ini juga berlaku pada jajargenjang.
N M
K L
Pada gambar diatas,
Keliling jajargenjang KLMN = KL + LM + MN +KN
= KL + LM + KL + LM
= 2 (KL + LM)
Luas jajar genjang
Agar kita dapat memahami konsep jajargenjang, lakukan kegiatan berikut ini.
Buatlah jajargenjang ABCD, kemudian buatlah garis dari titik D yang memotong tegak lurus (90˚) garis AB di tiitk E.
D C
A B
Potonglah jajargenjang ABCD menurut garis DE, sehingga menghasilkan dua bangun, yaitu bangun segitiga AED dan bangun segi empat EB
A B
Gabungkan/tempelkan bangun AED sedemikian sehingga sisi BC berimpit dengan sisi AD.
TRAPESIUM
Pengertian
Trapesium adalah segi empat yang memiliki sepasang sisi berhadapan sejajar.
Jenis-jenis Trapesium
Trapesium sebarang
Sebuah trapesium disebut trapezium sebarang, bila trapezium tersaebut tidak memiliki suatu kekhususan. Lihat gambar diatas
b. Trapesium siku-siku
Trapesium siku-siku adalah trapezium yang memiliki sudut siku-siku. Pada gambar diatas, trapezium ABCD adalah trapezium siku-siku karena diantara keempat sudutnya terdapat sudut siku-siku yaitu "∠BAD dan ∠ADC."
c.Trapesium sama kaki
Trapesium diatas adalah trapezium sama kaki, Trapesium sama kaki adalah trapezium yang kaki-kakinya sama panjang. AB dan CD adalah dua garis sejajar, sedangkan AD dan BC merupakan kaki-kaki trapezium. Bila AD= BC maka trapezium ABCD disebut trapezium ABCD.
C. Sifat-sifat Trapesium
Sifat umum trapezium
Sifat umum dari semua jenis trapesium adalah sebagai berikut:
AB sejajar DCType equation here.
∠A+ ∠D=180 ̊ ( sudut dalam sepihak)
∠B+ ∠C=180 ̊ ( sudut dalam sepihak)
Berdasarkan sifat-sifat tersebut, dapat dituliskan bahwa pada trapezium jumlah besar sudut yang berdekatan dinatara dua sisi yang sejajar adalah 180 ̊
Sifat khusus Trapesium sama kaki
Terdapat dua pasang sudut berdekatan yang sama besar
Dalam trapezium sama kaki terdapat diagonal-diagonal yang sama panjang.
D. Keliling Trapesium
Keliling trapezium ABCD ditentukan oleh rumus berikut
E. Luas Trapesium
Berikut ini diberikan beberapa cara untuk menentukan rumus luas sebuah trapezium :
1.Dengan penggabungan dua trapezium
2.Dengan mengubah bangun
Luas trapezium = ½ (atb) Xt
Berdasarkan uraian diatas dapt disimpulkan bahwa:
Luas trapezium = ½ x ( jumlah sisi-sisi sejajar) x tinggi atau ½ (atb) Xt
8. LINGKARAN
A. Pengertian
Dalam geometri Euklid, sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar.
Elemen-elemen yang terdapat pada lingkaran, yaitu sbb:
n sebuah titik di dalam lingkaran yang menjadi acuan untuk menentukan jarak terhadap himpunan titik yang membangun lingkaran sehingga sama. JElemen lngkiaran yang berupa titik, yaitu :
Titik pusat (P)
merupakan jarak antara titik pusat dengan lingkaran harganya konstan dan disebut jari-jari.
Elemen lingkaran yang berupa garisan, yaitu :
Jari-jari (R)
merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran.
Tali busur
merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda (TB).
Busur (B)
merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit dengan lingkaran.
Keliling lingkaran (K)
merupakan busur terpanjang pada lingkaran.
Diameter (D)
merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas.
Elemen lingkaran yang berupa luasan, yaitu :
Juring (J)
merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang berada pada kedua ujungnya.
Tembereng (T)
merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali busurnya.
Cakram (C)
merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.
Suatu lingkaran memiliki persamaan
dengan adalah jari-jari lingkaran dan adalah koordinat pusat lingkaran.
Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu persamaan parameterik, yaitu
yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam ruang x-y.
B. Luas lingkaran
Luas lingkaran memiliki rumus
yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran
dalam koordinat polar, yaitu
Dengan cara yang sama dapat pula dihitung luas setengah lingkaran, seperempat lingkaran, dan bagian-bagian lingkaran. Juga tidak ketinggalan dapat dihitung luas suatu cincin lingkaran dengan jari-jari dalam dan jari-jari luar .
Luas lingkaran dapat dihitung dengan memotong-motongnya sebagai elemen-elemen dari suatu juring untuk kemudian disusun ulang menjadi sebuah persegi panjang yang luasnya dapat dengan mudah dihitung. Dalam gambar r berarti sama dengan R yaitu jari-jari lingkaran.
Luas juring
Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari R dan θ, yaitu;
dengan batasan nilai θ adalah antara 0 dan 3π. Saat θ bernilai 2π, juring yang dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran.
Luas cincin lingkaran
Suatu cincin lingkaran memiliki luas yang bergantung pada jari-jari dalam dan jari-jari luar , yaitu
di mana untuk rumus ini kembali menjadi rumus luas lingkaran.
Luas potongan cincin lingkaran
Dengan menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh
yang merupakan luas sebuah cincin tak utuh.
C. Keliling lingkaran
Keliling lingkaran memiliki rumus:
Panjang busur lingkaran
Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus
yang diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva
di mana digunakan
sebagai kurva yang membentuk lingkaran. Tanda mengisyaratkan bahwa terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan bagian bawah. Keduanya identik (ingat definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya dikalikan dua.
BAB III
PENUTUP
Kesimpulan
Dari uraian di atas maka kami dapat menyimpulkan bahwa Geometri berasal (dari bahasa yunani, geo = bumi, metria = pengukuran) secara harfiah berarti pengukuran tentang bumi, adalah cabang dari matematika yang mempelajari hubungan di dalam ruang. Dari pengalaman, atau mungkin secara intuitif, orang dapat mengetahui ruang dari ciri dasarnya, yang diistilahkan sebagai aksiom dalam geometri. Geometri terbagi atas beberapa macam antara lain : segitiga, persegi panjang, persegi, jajargenjang, belah ketupat, layang-layang, trapesium dan lingkaran. Geometri ini mempunyai sifat-sifat, rumus keliling dan luas.
0 comments:
Post a Comment